Векторные диаграммы

 Понятие о векторах. На рис.1.4 приведена кривая изменения переменного тока во времени. Ток сначала растет от нуля (при φ=0º) до максимального положительного значения + I_max (при φ=90^о), затем убывает, переходит через нуль (при φ=180^о), достигает максимального отрицательного значения – I_max (при φ=270^о) и, наконец, возвращается к нулю (при φ=360^о). после этого цикл изменения тока повторяется.

      Кривая изменения переменного тока во времени, приведенная на рис.1.4, называется синусоидой. Время Т, в течение которого происходит полный цикл изменения тока, соответствующий изменению угла на 360^о, называется периодом переменного тока. Число периодов за 1 секунду называется частотой переменного тока. В промышленных

установках и в быту в на территории бывшего СССР и в других странах Европы используется главным образом переменный ток частотой 50 Гц. Этот ток 50 раз в секунду принимает положительное и отрицательное направление. Изменение переменного тока во времени можно записать в следующем виде.

Где i – мгновенное значение тока, т.е. значение тока в каждый момент времени; Imax – максимальное значение тока; ω=2πf – угловая частота переменного тока, f=50 Гц, ω=2π·50=314; α – начальный угол, соответствующий моменту времени, с которого начинается отсчет времени (при t=0). Для частного случая, показанного на рис.1.4, α=0^о.

       Анализируя действие устройств релейной защиты и автоматики, необходимо сопоставлять токи и напряжения, складывать или вычитать их, определять углы между ними и производить другие операции. Пользоваться при этом кривыми, подобными приведенной на рис.1.4, неудобно, поскольку построение синусоид тока и напряжения занимает много времени и не дает простого и наглядного результата. Поэтому для упрощения принято изображать токи и напряжения в виде отрезков прямых линий, имеющих определенную длину и направление, - так называемых векторов (А0 на рис.1.4). один конец вектора закреплен на точке 0 – начало координат, а второй вращается против часовой стрелки.

     Мгновенное значение тока или напряжения в каждый момент времени определяется проекцией на вертикальную ось вектора, длина которого равна максимальному значению тока или напряжения. Эта проекция будет становится то положительной, то отрицательной, принимая максимальные значения при вертикальном расположении вектора. За время Т, равное периоду переменного тока, вектор совершит полный оборот по окружности (360^о), занимая последовательно положения 0А’,0A”, 0A’’’ и т.д. При частоте переменного тока 50 Гц вектор будет совершать 50 об/с.

          Таким образом, вектор тока или напряжения – это отрезок прямой, равный по величине максимальному значению тока или напряжения, вращающийся относительно точки 0 против движения часовой стрелки со скоростью, определяемой частотой переменного тока. Зная положение вектора в каждый момент времени, можно определить мгновенное значение тока или напряжения в данный момент. Так, для положения вектора тока 0А, показанного на рис.1.5, его мгновенное значение определяется проекцией на вертикальную ось, т.е. 0А”=0А sin φ.

        На основании рис.1.5 можно также сказать, что ток в данный момент времени имеет положительное значение. Однако это ещё не дает полного представления о протекании процесса в цепи переменного тока, так как неизвестно, что значит положительный или отрицательный ток, положительное или отрицательное напряжение.

     Для того чтобы векторные диаграммы токов и напряжений давали полную картину, их нужно увязать с фактическим протеканием процесса в цепи переменного тока, т.е. необходимо предварительно принять условные положительные направления токов и напряжений в рассматриваемой схеме. Без выполнения этого условия, если не заданы положительные направления токов и напряжений, любая векторная диаграмма не имеет никакого смысла.

     Рассмотрим простую однофазную цепь переменного тока, приведенную на рис.1.6, а. От однофазного генератора энергия предается в активное сопротивление нагрузкиR. Зададимся положительными направлениями токов и напряжений в рассматриваемой цепи. За условное положительное направление напряжения и ЭДС примем направление, когда потенциал вывода генератора или нагрузки, связанного с линией, выше потенциала вывода, соединенного с землей. В соответствии с правилами, принятыми в электротехнике, положительное направление для ЭДС обозначено стрелкой, направленной в сторону более высокого потенциала (от земли к линейному выводу), а для напряжения – стрелкой, направленной в сторону более низкого потенциала (от линейного вывода к земле).

       Переменный ток будет считать положительным, когда во внешней цепи он проходит от шин генератора к нагрузке (обозначено стрелкой). Построим векторы ЭДС и тока, характеризующие работу рассматриваемой цепи (рис.1.6, б). Вектор ЭДС произвольно обозначим вертикальной линией со стрелкой, направленной вверх. Для построения вектора тока запишем для цепи уравнение согласно второму закону Кирхгофа:

отсюда

Поскольку знаки векторов тока и ЭДС в выражении совпадают, вектор тока будет совпадать с вектором ЭДС и на рис.1.6, б.

      Здесь и в дальнейшем при построении векторов будем откладывать их по величине равным эффективному значению тока и напряжения, что удобно для выполнения различных математических операций с векторами. Как известно, эффективные значения тока и напряжений в √2 раз меньше соответствующих максимальных (амплитудных).

       При заданных положительных направлениях тока и напряжения однозначно определяется и знак мощности. Положительной в рассматриваемом случае будем считать мощность, направленная от шин генератора в линию:

так как векторы тока и ЭДС на рис.1.6, б совпадают.

     Аналогичные соображения могут быть высказаны и для трехфазной цепи переменного тока, показанной на рис.1.7, а. В этом случае во всех фазах приняты одинаковые положительные направления, чему соответствует симметричная диаграмма токов и напряжений, приведенная на рис.1.7, б. Отметим, что симметричной называется такая трехфазная система векторов, когда все три вектора равны по величине и сдвинуты относительно друг друга на угол 120^о.

         Операции с векторами. Когда мы рассматриваем только одну кривую тока или напряжения, начальное значение угла, с которого начинается отсчет, или, иначе говоря, положение вектора на диаграмме, соответствующее начальному моменту времени, может быть принято произвольным. Если же одновременно рассматриваются два или несколько токов и напряжений, то, задавшись начальным положением на диаграмме одного из векторов, мы тем самым уже определяем положение всех других векторов.

     Все три вектора фазных напряжений: , показанные на рис.1.7, б, вращаются против часовой стрелки с одинаковой скоростью, определяемой частотой переменного тока. При этом они пересекают вертикальную ось, совпадающую с направлением вектора  на рис.1.7, б, поочередно с определенной последовательностью, а именно ,,, которая называется чередованием фаз напряжения (или тока). Для того чтобы определить взаимное расположение двух векторов, обычно говорят, что один из них опережает или отстает от другого. При этом опережающим считается вектор, который при вращении против часовой стрелки раньше пересечет вертикальную ось. Так, например, можно сказать, что вектор напряжения  на рис.1.7, б опережает  на угол 120^о или, с другой стороны, вектор  отстает от вектора  на угол 120^о. Как видно из рис.1.7, выражение «вектор отстает на угол 120^о», равноценно выражению «вектор опережает на угол 240^о».

         Сложение векторов производится геометрическим суммированием по правилу параллелограмма, как показано на рис.1.8, а, на котором построена сумма токов (). Так как вычитание – действие, обратное сложению, для определения разности токов (например, ) достаточно к току  прибавить вектор, обратный . Вместе с тем на рис.1.8, а показано, что вектор разности токов () можно построить проще, соединив линией концы векторов  и . При этом стрелка вектора разности токов направляется в сторону первого вектора, т.е. .

       Аналогично строится векторная диаграмма межфазных напряжений, например,  (рис.1.8, б).

      Очевидно, что положение вектора на плоскости определяется его проекциями на две любые оси. Так, например, для того чтобы определить положение вектора 0А(рис.1.9), достаточно знать его проекции на взаимно перпендикулярные оси:

0A’= 0A cos φ;

0A’’= 0A sin φ = 0A cos (90^o – φ).

       Отложим на осях координат проекции векторов 0А’ и 0А’’ и восстановим из точек А’ и A’’ перпендикуляры к осям. Точка пересечения этих перпендикуляров и есть точка А – один конец вектора, вторым концов которого является точка 0 – начало координат.

    Назначение векторных диаграмм. Работникам, занимающимся проектированием и эксплуатацией релейной защиты, часто приходится использовать в своей работе так называемые векторные диаграммы – векторы токов и напряжений, построенные на плоскости в определенном сочетании, соответствующем электрическим процессам, происходящим в рассматриваемой схеме.

          Анализ векторных диаграмм токов и напряжений является одним из важных, а в ряде случаев единственным способом проверки правильности соединения цепей тока и напряжения и включения реле в схемах дифференциальных и направленных защит.

       По сути построение векторной диаграммы целесообразно во всех случаях, когда к рассматриваемому реле подаются две или более электрические величины: разность токов в максимальной токовой или дифференциальной защите, ток и напряжение в реле направления мощности или в направленном реле сопротивления. Векторная диаграмма позволяет сделать заключение о том, как рассматриваемая защита будет работать при КЗ, т.е. оценить правильность ее включения. Взаимное расположение векторов токов и напряжений на диаграмме определяется характеристикой рассматриваемой цепи, а также условно принятыми положительными направлениями токов и напряжений. Для примера рассмотрим две векторные диаграммы.

    На рис.1.10 показана однофазная цепь переменного тока, состоящая из генератора и последовательно соединенных емкостного, активного и индуктивного сопротивлений (примем при этом, что индуктивное сопротивление больше емкостного Х_L > X_C). Положительные направления токов и напряжений, так же как и в случаях, рассмотренных выше, обозначены на рис.1.10, а стрелками.

     Построение векторной диаграммы начнем с вектора ЭДС Е, который расположим на рис.1.10, б вертикально. Ток, проходящий в рассматриваемой цепи, определится из следующего выражения:

    Поскольку в рассматриваемой цепи имеются активные и реактивные сопротивления, причем Х_L > X_C, вектор тока отстает от вектора напряжения на угол φ:

     Напряжение в точке n на рис.1.10, а определится согласно следующему выражению:

На рис.1.10, б построен вектор , отстающий от вектора на угол 90^о. Напряжение в точке n  определится разностью векторов  и . Напряжение в точкеm определится аналогично:

Как видно из рис.1.10, б, этот последний вектор  будет равен падению напряжения в индуктивном сопротивлении .

Рассмотрим другую цепь переменного тока, приведенную на рис.1.11, а, и построим векторную диаграмму, характеризирующую распределение токов в параллельных ветвях. Для построения диаграммы примем, что активное и емкостное сопротивление равны R=X_C.

Построение векторной диаграммы начнем с вектора , который расположим горизонтально. Затем построим вектор падения напряжения на сопротивлениях , отстающий от вектора  на угол φ, так как результирующее сопротивление имеет активно-емкостной характер. Угол φ определяется следующим выражением:

       В рассматриваемом случае φ=45^о. Вектор тока , проходящего по активному сопротивлению, совпадает с , а  опережает  на 90^о, как показано на рис.1.11, б.

Вопросы для самопроверки:

1. Что такое вектор? Зачем нужны векторные диаграммы?
2. Что такое частота переменного тока?
3. Что означает, когда говорят, что один вектор «опережает» или «отстает» от другого вектора?
4. Как производится сложение и вычитание векторов?